Лист задач 1: Модели вероятности и формула Байеса

Тема занятия: геометрическая вероятность и формула Байеса. Ответ на бланк: одна буква A, B или C. Точное число писать не нужно.

На занятии задачи трёх уровней сложности. Категория 1 (зелёные) это вводные задачи, категория 2 (синие) это стандартные, категория 3 (оранжевые) это самые каверзные.

Точка на отрезке

Точку \(X\) бросают наудачу на отрезок \([0,1]\). Сравнить \(P(X=0{,}7)\) и \(P(X<0{,}1)\).

  1. A. \(P(X=0{,}7)\) больше.
  2. B. Равны.
  3. C. \(P(X<0{,}1)\) больше.

Условная вероятность на кубике

Правильный кубик. Известно, что выпало чётное число. Вероятность шестёрки по сравнению с \(1/6\)

  1. A. больше;
  2. B. такая же;
  3. C. меньше.

Несовместность и независимость

События \(A\) и \(B\) несовместны, и оба имеют ненулевую вероятность. Они

  1. A. независимы;
  2. B. зависимы;
  3. C. могут быть и независимы, и зависимы, смотря по числам.

Наудачу без модели

В круге наудачу выбирают хорду. Можно ли, не уточняя, что именно равномерно, назвать одно число ответом на вопрос о вероятности длинной хорды?

  1. A. Да, это всегда \(1/3\).
  2. B. Да, это всегда \(1/2\).
  3. C. Нет: разные модели дают разные ответы.

Две точки на отрезке

На отрезке \([0,1]\) независимо наудачу выбирают две точки \(X\) и \(Y\). Сравнить \(P(|X-Y|<1/2)\) и \(1/2\).

  1. A. \(P(|X-Y|<1/2)\) меньше \(1/2\).
  2. B. Равны.
  3. C. \(P(|X-Y|<1/2)\) больше \(1/2\).

Задача о встрече

Человек и автобус независимо приходят на остановку в случайный момент часа. Тот, кто пришёл первым, ждёт 15 минут и уходит. Вероятность встречи

  1. A. строго меньше \(1/2\);
  2. B. равна \(1/2\);
  3. C. строго больше \(1/2\).

Суммы на трёх кубиках

Три правильных кубика бросают одновременно. Что чаще: сумма очков 9 или сумма очков 10? Неупорядоченные разложения 9 и 10 выглядят одинаково многочисленными: по шесть штук.

  1. A. Чаще сумма 9.
  2. B. Одинаково часто.
  3. C. Чаще сумма 10.

Два способа выбрать хорду

В круг вписан равносторонний треугольник. Хорду выбирают наудачу двумя способами: случайные концы на окружности и случайная середина, равномерная по площади круга. Для какого способа вероятность, что хорда длиннее стороны треугольника, больше?

  1. A. Для случайных концов.
  2. B. Одинаково.
  3. C. Для случайной середины.

Три карты

Три карты: на первой с обеих сторон буква A, на второй с обеих сторон буква B, на третьей с одной стороны A, с другой B. Карту берут наудачу и кладут на стол. Видна буква A. Вероятность, что на обороте тоже A,

  1. A. строго меньше половины;
  2. B. ровно половина;
  3. C. строго больше половины.

Редкий медицинский тест

Болезнь встречается примерно у одного человека из тысячи. Тест даёт плюс у больного в 99% случаев и минус у здорового в 99% случаев. Человек получил плюс. Вероятность, что он болен, ближе к

  1. A. 99%;
  2. B. 50%;
  3. C. 10%.

Монти Холл

Три двери, за одной машина, за двумя козы. Игрок выбирает дверь. Ведущий, который знает расположение, всегда открывает другую дверь с козой и предлагает сменить выбор. Что выгоднее?

  1. A. Остаться при первой двери.
  2. B. Без разницы.
  3. C. Сменить дверь.

Зоны и приз

Площадку делят на четыре зоны с долями площади 50%, 30%, 12% и 8%. Точку бросают наудачу. Если она попала в зону, приз выдают с вероятностями 0,01, 0,05, 0,20 и 0,50 соответственно. Приз получен. В какой зоне точка вероятнее всего?

  1. A. В самой большой зоне (50%).
  2. B. В зоне 12%.
  3. C. В самой маленькой зоне (8%).

← к списку занятий