Лист задач 2
Тема занятия: условная вероятность, независимость, формула полной вероятности и формула Байеса.
Задачи трех уровней сложности. Категория 1 (зеленые) это вводные задачи, категория 2 (синие) это стандартные задачи, категория 3 (оранжевые) это самые сложные задачи.
Белая фишка из случайной чаши
В чаше A лежат две красные фишки, в чаше B две белые, в чаше C одна красная и одна белая. Чашу выбирают равновероятно, затем случайно берут одну фишку. Найдите вероятность получить белую фишку.
Чаша по цвету вынутой фишки
Используется тот же набор чаш: A содержит две красные фишки, B две белые, C одну красную и одну белую. Вынутая фишка оказалась белой. Найдите вероятность, что в выбранной чаше вторая фишка красная.
Два удара футболиста
Карлос забивает с вероятностью 0,65. Вероятность забить второй раз при условии, что первый удар был успешным, равна 0,90. Найдите вероятность двух голов подряд и определите, независимы ли результаты двух ударов.
Монти Холл
За одной из трех дверей автомобиль, за двумя козы. После выбора игрока ведущий, знающий расположение автомобиля, всегда открывает другую дверь с козой. Следует ли менять выбор и какова вероятность выиграть при смене?
Заполненная парковка
В 35% вечеров в кампусе проходит учебное мероприятие, в 20% спортивное, а в 45% мероприятий нет. Парковка заполняется соответственно в 25%, 70% и 5% таких вечеров. Парковка заполнена. Найдите вероятность спортивного мероприятия.
Тест на рак почки
Тест обнаруживает рак почки у больного в 90% случаев. У здорового человека он правильно показывает отсутствие рака в 99,9% случаев. Рак встречается у одного человека из 10 000. Тест оказался положительным. Найдите вероятность, что человек действительно болен.
Дефектная лампа
Фабрики A, B и C выпускают 35%, 35% и 30% настольных ламп. Доля дефектных ламп у них равна соответственно 1,5%, 1% и 2%. Случайно выбранная лампа оказалась дефектной. Найдите вероятности ее происхождения из A, B и C.
Замена шара другим цветом
В урне 5 оранжевых и 2 синих шара. Первый вынутый шар заменяют шаром другого цвета, затем делают второе извлечение. Найдите вероятность, что второй шар оранжевый, и вероятность того, что первый шар был оранжевым при условии, что второй оранжевый.
Синее такси
Среди 100 такси одно синее и 99 зеленых. Свидетель правильно называет синее такси синим в 99% случаев, а зеленое ошибочно называет синим в 2% случаев. Свидетель сказал, что видел синее такси. Найдите вероятность, что такси действительно было синим.
Подкупленные судьи
Четверть участников телешоу подкупают судей и гарантированно проходят каждый раунд. Участник без подкупа проходит каждый раунд с вероятностью \(\frac13\). Статус подкупа между двумя раундами не меняется. Найдите вероятность подкупа при условии прохождения первого раунда, вероятность пройти оба раунда и вероятность выбыть во втором раунде при условии прохождения первого.